If y = t a n x t a n 2 x t a n 3 x , then d y d x is equal to:

3 s e c 2 3 x - 2 s e c 2 2 x - s e c 2 x

s e c 2 x + 2 s e c 2 2 x + 3 s e c 2 3 x

If y 2 = a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x , then prove that d 2 y d x 2 + y = a 2 b 2 y 3 .

Given y 2 = a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x Differentiating with respect to x , we get: 2 y d y d x = - a 2 2 cos x sin x + b 2 2 sin x cos x 2 y y ' = b 2 - a 2 sin 2 x y y ' = b 2 - a 2 2 sin 2 x Differentiating again with respect to x , we get: y ' y ' + y y ' ' = b 2 - a 2 2 × cos 2 x · 2 y ' 2 + y . y ' ' = b 2 - a 2 cos 2 x y 2 . y ' 2 + y 3 y ' ' = y 2 b 2 - a 2 cos 2 x y 3 y ' ' = y 2 b 2 - a 2 cos 2 x - y 2 y ' 2 Adding y 4 on both the sides of the equation, we get: y 4 + y 3 y ' ' = y 2 b 2 - a 2 cos 2 x - y 2 y ' 2 + y 4 y 4 + y 3 y ' ' = a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x b 2 - a 2 cos 2 x - sin 2 x - b 2 - a 2 sin x cos x 2 + a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x 2 y 4 + y 3 y ' ' = b 2 - a 2 a 2 cos 4 x - a 2 cos 2 x sin 2 x + b 2 cos 2 x sin 2 x - b 2 sin 4 x - b 2 - a 2 2 sin 2 x cos 2 x + a 4 cos 4 x + b 4 sin 4 x + 2 a 2 b 2 cos 2 x sin 2 x y 4 + y 3 y ' ' = b 2 a 2 cos 4 x - b 2 a 2 cos 2 x sin 2 x + b 4 cos 2 x sin 2 x - b 4 sin 4 x - a 4 cos 4 x + a 4 cos 2 x sin 2 x - a 2 b 2 cos 2 x sin 2 x + a 2 b 2 sin 4 x - b 4 cos 2 x sin 2 x - a 4 cos 2 x sin 2 x + 2 a 2 b 2 cos 2 x sin 2 x + a 4 cos 4 x + b 4 sin 4 x + 2 a 2 b 2 cos 2 x sin 2 x y 4 + y 3 y ' ' = b 2 a 2 cos 4 x + a 2 b 2 sin 4 x + 2 a 2 b 2 cos 2 x sin 2 x y 4 + y 3 y ' ' = a 2 b 2 sin 2 x + cos 2 x 2 y 4 + y 3 y ' ' = a 2 b 2 Dividing both the sides of the equation by y 3 , we get: y + y ' ' = a 2 b 2 y 3 .

If y = a x + x 2 - 1 n + b x - x 2 - 1 - n , then prove that x 2 - 1 d 2 y d x 2 + x d y d x - n 2 y = 0 .

Given, y = a x + x 2 - 1 n + b x - x 2 - 1 - n Differentiating both the sides of the equation with respect to x we get, d y d x = a n x + x 2 - 1 n - 1 1 + 1 × 2 x 2 x 2 - 1 + b - n x - x 2 - 1 - n - 1 1 - 2 x 2 x 2 - 1 d y d x = a n x + x 2 - 1 n x 2 - 1 + b n x - x 2 - 1 - n x 2 - 1 x 2 - 1 d y d x = a n x + x 2 - 1 n + b n x - x 2 - 1 - n x 2 - 1 d y d x = n y Squaring both the sides of the equation we get, x 2 - 1 d y d x 2 = n 2 y 2 Differentiating both the sides of the equation we get, 2 x 2 - 1 d y d x × d 2 y d x 2 + 2 x d y d x 2 = n 2 × 2 y d y d x Taking out the common factor 2 d y d x , we get: x 2 - 1 d 2 y d x 2 + x d y d x - n 2 y = 0

If x = sin θ , y = cos ρ θ , then prove that ( 1 - x 2 ) y 2 - x y 1 + ρ 2 y = 0 , where y 2 = d 2 y d x 2 and y 1 = d y d x .

Given, x = sin θ , y = cos ρ θ d x d θ = cos θ d y d θ = - ρ sin ρ θ = - ρ 1 - cos 2 ρ θ d y d x = d y d θ d x d θ = - ρ sin ρ θ cos θ d x d θ = - ρ sin ρ θ cos θ d x d θ = - ρ 1 - y 2 1 - x 2 Squaring on both the sides of the equation, we get: d y d x 2 = ρ 2 1 - y 2 1 - x 2 1 - x 2 d y d x 2 = ρ 2 1 - y 2 Differentiating on both the sides of the equation again, we get: 1 - x 2 2 d y d x d 2 y d x 2 - 2 x d y d x 2 = ρ 2 - 2 y d y d x Taking the common factor 2 d y d x from the equation, we get: 1 - x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + ρ 2 y = 0

If x 2 + y 2 + z 2 - 2 x y z = 1 , then show that d x 1 - x 2 + d y 1 - y 2 + d z 1 - z 2 = 0 .

Given, x 2 + y 2 + z 2 - 2 x y z = 1 Differentiating both the sides of the equation we get, 2 x d x + 2 y d y + 2 z d z - 2 x y d z + y z d x + z x d y = 0 x - y z d x + y - z x d y + z - x y d z = 0 d x y - z x z - x y + d y z - x y z - x y + d z x - y z y - z x = 0 . . . i (Dividing by x - y z y - z x z - x y ) Now, y - z x 2 = y 2 + z 2 x 2 - 2 x y z = z 2 x 2 + y 2 - 2 x y z = z 2 x 2 + 1 - x 2 - z 2 = 1 - x 2 1 - z 2 Similarly, z - x y 2 = 1 - x 2 1 - y 2 x - z y 2 = 1 - z 2 1 - y 2 by substitutinf these values in i , we will get d x 1 - x 2 + d y 1 - y 2 + d z 1 - z 2 = 0 .

If y is a twice differentiable function of x , then transform the expression 1 - x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y by means of the transformation x = sin ⁡ t in terms of the independent variable t .

Given, 1 - x 2 d 2 y d x 2 - x d y d x + y ⇒ 1 - x 2 d d x d y d x - x d y d x + y ⇒ 1 - x 2 d d x d y d t d x d t - x d y d t d x d t + y . . . 1 Now, x = sin t d x d t = cos t Substituting the values in 1 , we get ⇒ 1 - sin 2 t d d x d y d t cos t - sin t d y d t cos t + y ⇒ cos 2 t × d d t d y d t × sec t d x d t - sin t cos t d y d t + y ⇒ cos 2 t × sec t d 2 y d t + d y d t × sec t tan t cos t - tan t d y d t + y ⇒ cos t sec t d 2 y d t 2 + tan t d y d t - tan d y d t + y ⇒ d 2 y d t 2 + y