In a triangle A B C , prove that cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 = 4 cos π - A 4 cos π - B 4 cos π - C 4 .

LHS= cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 RHS= 2 cos π - A 4 cos π - B 4 2 cos π - C 4 = cos π - A + π - B 4 + cos π - A - π + B 4 2 cos π - C 4 = cos π 2 - A + B 4 + cos A + B 4 2 cos π - C 4 = sin A + B 4 + cos A - B 4 2 cos π - C 4 = 2 cos π - C 4 sin A + B 4 + 2 cos π - C 4 cos A - B 4 = sin π - C + A + B 4 - sin π - C - A - B 4 + cos π - C + A - B 4 + cos π - C - A + B 4 = sin π - C + π - C 4 - sin A + B + C - C - A - B 4 + cos A + B + C - C + A 4 + cos A + B - C - C - A + B 4 = sin π - C 2 + cos A 2 + cos B 2 = cos C 2 + cos A 2 + cos B 2 LHS=RHS

In a triangle A B C , prove that cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 = 4 cos π - A 4 cos π - B 4 cos π - C 4 .

LHS= cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 RHS= 2 cos π - A 4 cos π - B 4 2 cos π - C 4 = cos π - A + π - B 4 + cos π - A - π + B 4 2 cos π - C 4 = cos π 2 - A + B 4 + cos A + B 4 2 cos π - C 4 = sin A + B 4 + cos A - B 4 2 cos π - C 4 = 2 cos π - C 4 sin A + B 4 + 2 cos π - C 4 cos A - B 4 = sin π - C + A + B 4 - sin π - C - A - B 4 + cos π - C + A - B 4 + cos π - C - A + B 4 = sin π - C + π - C 4 - sin A + B + C - C - A - B 4 + cos A + B + C - C + A 4 + cos A + B - C - C - A + B 4 = sin π - C 2 + cos A 2 + cos B 2 = cos C 2 + cos A 2 + cos B 2 LHS=RHS

In a triangle A B C , prove that cos A 2 + cos B 2 - cos C 2 = 4 cos π + A 4 cos π + B 4 cos π - C 4 .

Consider LHS= cos A 2 + cos B 2 - cos C 2 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - cos π 2 - A + B 2 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - sin A + B 2 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - 2 sin A + B 4 cos A + B 4 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - sin A + B 4 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - sin π 4 - C 4 = 2 cos A + B 4 cos A - B 4 - cos π 4 + C 4 = 2 cos A + B 4 - 2 sin A - B 4 + π 4 + C 4 sin A - B 4 - π 4 - C 4 = 2 cos A · B 4 - 2 sin A - B 4 + π 4 + π 4 - A + B 4 2 sin A - B 4 - π 4 - π 4 + A + B 4 2 = 2 cos A + B 4 - 2 sin π 2 - 2 B 4 2 sin 2 A 4 - π 2 2 = 2 cos A + B 4 - 2 sin π 4 - B 4 sin - π 4 - A 4 = 4 cos π 4 - c 4 cos π 2 - π 4 + B 4 cos π 2 - π 4 - π 4 = 4 cos π - c 4 cos π - B 4 cos π - A 4 = RHS

In a triangle A B C , prove that sin A 2 + sin B 2 - sin C 2 = - 1 + 4 cos π - A 4 cos π - B 4 sin π - C 4 .

Consider, RHS= - 1 + 2 cos π - A 4 cos π - B 4 2 sin π - c 4 = - 1 + cos π - A + π - B 4 + cos π - A - π + B 4 2 sin π - C 4 = - 1 + cos π 2 - A + B 4 + cos A - B 4 2 sin π - C 4 = - 1 + sin A + B 4 + cos A - B 4 2 sin π - C 4 = - 1 + 2 sin π - C 4 sin A + B 4 + 2 sin π - C 4 ars A - B 4 = - 1 + 2 sin 2 π - C 4 + sin π - C + A - B 4 + sin π - C - A + B 4 = - 1 + 2 sin 2 π - C 4 + sin A + B + C - C + A - B 4 + sin A + B + C - C - A + B 4 = - 1 + 2 sin 2 π - C 4 + sin A 2 + sin B 2 = - 1 + 2 sin 2 π - C 4 + sin A 2 + sin B 2 = cos π - C 2 + sin A 2 + sin B 2 = - sin C 2 + sin A 2 + sin B 2 =LHS

If A + B + C = 0 , then prove that sin A + sin B - sin C = - 4 cos A 2 cos B 2 sin C 2

Let LHS= sin A + sin B - sin C = 2 sin A + B 2 cos A - B 2 = sin C = 2 sin - C 2 cos A - B 2 - 2 sin C 2 cos C 2 = - 2 sin C 2 cos A - B 2 + cos C 2 = - 2 sin C 2 cos A - B 2 + cos A + B 2 = - 2 sin C 2 2 cos A 2 cos B 2 = - 4 cos A 2 cos B 2 sin C 2 = RHS .

If A + B + C = 2 π , then prove that sin A - sin B + sin C - sin D = - 4 cos A + B 2 sin A + C 2 cos A + D 2

Consider, LHS= sin A - sin B + sin C - sin D = 2 cos A + B 2 sin A - B 2 + 2 cos C + D 2 sin C - D 2 = 2 cos A + B 2 sin A - B 2 + 2 cos 180 ° - A + B 2 sin C - D 2 = 2 cos A + B 2 sin A - B 2 - 2 cos A + B 2 sin C - D 2 = 2 cos A + B 2 sin A - B 2 - sin C - D 2 = 2 cos A + B 2 2 cos A - B + C - D ) 4 sin A - B - C + D 4 = 2 cos A + B 2 2 cos ( A + C ) - ( B + D ) 4 sin ( A + D ) - ( B + C ) 4 = 2 cos A + B 2 2 cos ( A + C ) - 360 ° - ( A + C ) 4 sin ( A + D ) - 360 ° - ( A + D ) 4 = 2 cos A + B 2 · 2 cos A + C 2 - 90 ° sin A + D 2 - 90 ° = 2 cos A + B 2 - 2 cos 90 ° - A + C 2 sin 90 ° - A + D 2 = - 4 cos A + B 2 sin A + C 2 cos A + D 2 =RHS