Prove that tan 189 ° = cos 36 ° - sin 36 ° cos 36 ° + sin 36 ° .

LHS = tan 189 ° = tan 180 ° + 9 ° = tan 9 ° ∵ tan 180 ° + θ = tan θ = tan 45 ° - 36 ° = tan 45 ° - tan 36 ° 1 + tan 45 ° tan 36 ° ∵ tan A - B = tan A - tan B 1 + tan A . tan B = 1 - tan 36 ° 1 + tan 36 ° = 1 - sin 36 ° cos 36 ° 1 + sin 36 ° cos 36 ° = cos 36 ° - sin 36 ° cos 36 ° + sin 36 ° = RHS

Prove that tan 189 ° = cos 36 ° - sin 36 ° cos 36 ° + sin 36 ° .

LHS = tan 189 ° = tan 180 ° + 9 ° = tan 9 ° ∵ tan 180 ° + θ = tan θ = tan 45 ° - 36 ° = tan 45 ° - tan 36 ° 1 + tan 45 ° tan 36 ° ∵ tan A - B = tan A - tan B 1 + tan A . tan B = 1 - tan 36 ° 1 + tan 36 ° = 1 - sin 36 ° cos 36 ° 1 + sin 36 ° cos 36 ° = cos 36 ° - sin 36 ° cos 36 ° + sin 36 ° = RHS

Prove that sin α + sin α + 2 π 3 + sin α + 4 π 3 = 0 .

LHS = sin α + sin α + 2 π 3 + sin α + 4 π 3 = sin α + 2 sin α + 2 π 3 + α + 4 π 3 2 cos α + 2 π 3 - α - 4 π 3 2 ∵ sin C + sin D = 2 sin C + D 2 sin C - D 2 = sin α + 2 sin α + π cos π 3 = sin α + 2 - sin α 1 2 ∵ sin π + A = - sin A = sin α - sin α = 0 L H S = RHS